Общее уравнение кривых второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка на плоскости имеет вид

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (39)

где A2 + B2 + C2 0, (A, B, C, D, E, F) R. Оно определяет все возможные конические сечения произвольным образом расположенные на плоскости. Из коэффициентов уравнения (39) составим два определителя

, , (40)

– называется дискриминантом уравнения (39), а дискриминантом старших членов уравнения. При 0 уравнение (39) определяет: > 0 – эллипс; < 0 – гиперболу; = 0 – параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

От общего уравнения (39) можно перейти к каноническому уравнению, если исключить линейные и перекрестный члены путем перехода в новую систему координат, совпадающую с осями симметрии фигуры. Заменим в (39) x на x* + a и y на y* + b, где a, b некоторые константы. Выпишем полученные коэффициенты при х* и y* и приравняем их к 0

(Aa + Bb + D)x* = 0, (Cb + Ba + E)y* = 0. (41)

В результате уравнение (39) примет вид

A(x*)2 + 2B(x*)(y*) + C(y*)2 + F* = 0, (42)

где коэффициенты А, B, C не изменились, а F* = / . Решение системы уравнений (41) определит координаты центра симметрии фигуры

, . (43)

Если B = 0, то a = –D/A, b = –E/C и исключать линейные члены в (39) удобно методом приведения к полному квадрату:

Ax2 + 2Dx = A(x2 + 2xD/A + (D/A)2 – (D/A)2) = A(x + D/A)2D2/A.

В уравнении (42) совершим поворот координат на угол a (38). Выпишем полученный коэффициент при перекрестном члене x*y* и приравняем его к 0

[sin2 (A–C) + 2cos2 B]x*y* = 0. (44)

Условие (44) определяет необходимый угол поворота осей координат до их совпадения с осями симметрии фигуры и принимает вид

tg2 = . (45)

Уравнение (42) принимает форму

A+X2 + C+Y2 + F* = 0 (46)

от которой легко перейти к каноническому уравнению кривой

. (47)

Коэффициенты A+, C+, при условии (45), можно представить как корни вспомогательного квадратного уравнения

t2 – (A + C)t + = 0. (48)

В результате определены положение и направление осей симметрии фигуры, ее полуоси

a2 = , b2 =

и она может быть построена геометрически.

В случае = 0 имеем параболу. Если её ось симметрии параллельна оси Ох, то уравнение сводится к виду

, (49)

если нет, то к виду

, (50)

где выражения в скобках, приравненные к 0, определяют линии новых осей координат: , .

Решение типичных задач

Пример 15. Привести уравнение 2x2 + 3y2 – 4x + 6y – 7 = 0 к каноническому виду и построить кривую.

Решение. B = 0, = –72 0, = 6 > 0 эллипс.

Выполним приведение к полному квадрату:

2(x – 1)2 + 3(y + 1)2 – 12 = 0.

Координаты центра симметрии (1; –1), линейное преобразование X = x – 1, Y = y + 1 приводит уравнение к каноническому виду .

Пример 16. Привести уравнение 2xy = a2 к каноническому виду и построить кривую.

Решение. B = 1, = a2 0, = –1 < 0 гипербола.

Центр системы координат находится в центре симметрии кривой, т.к. в уравнении нет линейных членов. Совершим поворот осей на угол a. По формуле (45) имеем tg2a = B/(AC) = , т.е. a = 45°. Коэффициенты канонического уравнения (46) A+, C+ определяются уравнением (48): t2 = 1 или t1,2 = 1 A+ = 1, C+ = –1, т.е.
X2Y2 = a2 или . Таким образом, уравнение 2ху = а2 описывает гиперболу с центром симметрии в (0; 0). Оси симметрии располагаются по биссектрисам координатных углов, асимптотами служат оси координат, полуоси гиперболы равны а.

Пример 17. Привести уравнение x2 + 6х + y + 10 = 0 к каноническому виду и построить кривую.

Решение. B = 0, = –¼ 0, = 0 парабола.

Выполним приведение к полному квадрату:

(x + 3)2 = –(y + 1).

Координаты центра симметрии (–3; –1), линейное преобразование
X = x + 3, Y = y + 1 приводит уравнение к каноническому виду X2 = –Y, где фокальный параметр р = 1/2.

Задачи для самостоятельного решения

Привести к каноническому виду следующие уравнения и построить соответствующие кривые:

21) 4x2 + 9y2 – 16x – 18y – 11 = 0; 22) x2 + 2хy = 0;

23) x2 – 9y2 + 6x + 18y – 9 =0; 24) 9x2 + y2 – 18x + 2y+1 = 0;

25) 2x2 + 4х + y – 2 = 0; 26) 3x2 – 6хy + 2 = 0;

27) x2 + 4y2 – 8x – 9y +16 = 0; 28) 4x2 + 8хy – 5 = 0;

29) 9x2y2 + 18x + 2y – 1 = 0; 30) 9x2 – 4y2 +36x + 16y – 16 = 0.





Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

11 − = 10