Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

xn f M.

Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

xn ³ M

Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim xn = a.

В этом случае говорят, что последовательность {xn} сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {xn} = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

xn ® a; xn ® b; a ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любоечисло, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a, то .

Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

3. Монотонные последовательности

Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность

возрастающая.

2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность

неубывающая.

3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность

убывающая.

4)Если xn+1 f xn для всех n, то последовательность

невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {xn}=монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {xn+1}=

Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность {xn} = .

Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х1 f х2 f х3 f … f хn f xn+1 f …

Эта последовательность ограничена сверху: xn f M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а - eN f xn,

xn > a - e.

Отсюда a - e < xn < a + e

-e < xn – a < e или ôxn - aô< e, т.е. lim xn = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.





Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

86 − 83 =