Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

Определение 15.2. Квадратичная форма называется канонической (или имеет канонический вид), если все aij = 0 при i ¹ j. Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий:

.

Очевидно, что канонической квадратичной форме соответствует диаго-нальная матрица

= diag (а11, а22,…, аnn).

Нахождение канонического вида квадратичной формы называется приведением формы к каноническому виду.

Теоремa 15.1. Любая квадратичная форма с помощью ортогонального преобразования может быть приведена к каноническому виду

, (15.3)

где l1, l2,…, ln – собственные значения матрицы квадратичной формы.

Доказательство. Так как матрица А квадратичной формы является сим-метрической, то в силу теоремы 14.2 для нее существует ортогональная матрица Т, такая, что выполнено равенство L = Т *АТ. Пусть x = Тy, y = (у1, у2,…, уn), где у1, у2,…, уn – это координаты x в новом базисе, состоящем из нормированных собственных векторов матрицы А. Тогда из соотношения (15.2) получаем

Q (x1, x2,…, xn) = (x, Аx) = (Ty, А(Тy)) = (y, (Т *АТ)y) = (y, Ly) =, y = Т *x. (15.4)

Таким образом, квадратичная форма в базисе, состоящем из ортонорми-рованных собственных векторов матрицы А, приводится к каноническому виду. Алгоритм приведения ее к каноническому виду заключается, очевидно, в диагонализации симметрической матрицы квадратичной формы и последующей записи квадратичной формы в виде (15.3).¨

Пример 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Q (x1, x2, x3, x4) = .

Решение. Составим соответствующую этой форме матрицу

.

Характеристическое уравнение имеет корни l1 = 2, l2 = l3 = l4= – 1. Для l1 = 2 и l2 = – 1 находим собственные векторы (см. аналогичный пример 1 из §12.2) v1 = (1, 1, 1, 0) и v2 = (0, – 1, 1, 0) соответственно. Собственные векторы v3 и v4, соответствующие собственному значению l3 = l4= – 1, найдем из следующих соображений: по теореме 12.4 собственные векторы v1, v2, v3, v4 можно выбрать попарно ортогональными. Если v = (v1, v2, v3, v4) – произвольный вектор, ортогональный v1 и v2, то для определения его координат получаем систему уравнений

общее решение которой имеет вид

v = ,

где v2 и v4 – произвольные действительные числа.

Таким образом, любой вектор v, ортогональный v1 и v2, является линейной комбинацией векторов v3 = (– 2, 1, 1, 0) и v4 = (0, 0, 0, 1). Попарная ортогональность векторов v1, v2, v3, v4 очевидна. Итак, найдены все четыре попарно ортогональных собственных вектора матрицы A. Нормируя их, получим векторы

u1 , u2 , u3 , u4 ,

которые являются столбцами матрицы ортогонального преобразования Т, т. е.

.

Тогда в силу формулы (15.4) квадратичная форма Q в базисе u1, u2, u3, u4 приводится к каноническому виду

Q (y1, y2, y3, y4) = 2y12y22y32y42





Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

65 + = 70