Сходимость степенных рядов

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (3).

Область сходимости степенного ряда (3) содержит по крайней мере одну точку: (ряд (4) сходится в точке ).

2.1. Теорема Абеля

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы:

Теорема 1 (Абель). Если степенной ряд (3) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

По условию ряд сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что величина ограничена, т.е. найдется такое число M > 0, что для всех n выполняется неравенство

Пусть , тогда величина и, следовательно,

т. е. модуль каждого члена ряда (3) не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд (3) абсолютно сходящийся.

Следствие 1. Если ряд (3) расходится при , то он расходится и при всех х , удовлетворяющих неравенству .

Действительно, если допустить сходимость ряда в точке для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых , и, в частности, в точке , что противоречит условию.

2.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд (3) расходится.

Рис. 1

Интервал и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде . Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. R>0 – это такое число, что при всех х, для которых , ряд (3) абсолютно сходится, а при расходится (см. рис. 1).

В частности, когда ряд (3) сходится лишь в одной точке , то считаем, что R = 0. Если же ряд (3) сходится при всех значениях (т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что .

Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. при и при ) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

.

По признаку Даламбера ряд сходится, если т. е. ряд сходится при тех значениях х, для которых

ряд, составленный из модулей членов ряда (3), расходится при тех значениях х, для которых Таким образом, для ряда (3) радиус абсолютной сходимости

(5)

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что

(6)

Замечания.

1.Если то можно убедиться, что ряд (3) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае Если то

2. Интервал сходимости степенного ряда (4) находят из неравенства имеет вид

3. Если степенной ряд содержит не все степени х, т. е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости (формулы (5) и (6)), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Пример 3. Найти область сходимости ряда .

Решение. Воспользуемся формулой (5):

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример 4. Найти область сходимости ряда

.

Решение. Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

.

Ряд абсолютно сходится, если Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При имеем ряд который сходится по признаку Лейбница.

При имеем ряд – это тоже сходящийся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок .

Пример 5. Найти область сходимости ряда

Решение. Находим радиус сходимости ряда по формуле (5):

Следовательно, ряд сходится при

При имеем ряд

который сходится по признаку Лейбница.

При имеем расходящийся ряд

Следовательно, областью сходимости исходного ряд является полуотрезок .


Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

1 + 2 =